三角比 定義 域 7

と表すことができる。つまり つまり、$\theta=180^\circ-30^\circ=\boldsymbol{150^\circ}$。, 図のように、上半分の単位円周上において、$y$ 座標が $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ である点を取る。, そのような点は2つ存在し、$\triangle{\text{OPQ}}$、$\triangle\text{OP'Q'}$ とも 直角二等辺三角形であるので 三角比は三角形(特に直角三角形)の辺の比を考える分野です。中学の三平方の定理でも直角三角形を扱いましたが、直角三角形は数学の中心的なテーマですね。中学→三平方の定理、高校→三角比… 中学生のときに勉強した三角比(30度、45度、60度)の意味についてわかりやすく説明しています。算数が苦手、数学がどうしても理解できなかった、もう一度勉強し直したいという人の為に詳しくわかりやすく説明をしています。 \end{align} さん, 3辺の長さが $1,~\dfrac{\sqrt{2}}{2},~\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ の直角三角形を作ることができる。, 3辺の長さが $1,~\dfrac{\sqrt{3}}{2},~\dfrac{1}{2}$ の直角三角形を作ることができる。, $\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$ の関係 上の定義によれば,∠aは鋭角でなければなりません。直角三角形に基づいた定義をしている限り,三角比は90°未満の角についてしか考えることができません。そこで,定義の方法を少し改良し,180°までの角について三角比が考えられるようにします。 \[\tan(90^\circ+\theta)=-\dfrac{1}{\tan\theta}\] 三角関数(さんかくかんすう、英: trigonometric function)とは、平面三角法における、角の大きさと線分の長さの関係を記述する関数の族および、それらを拡張して得られる関数の総称である。鋭角を扱う場合、三角関数の値は対応する直角三角形の二辺の長さの比であり、三角関数は三角比とも呼ばれる。三角法に由来する三角関数という呼び名のほかに、後述する単位円を用いた定義に由来する円関数(えんかんすう、英: circular function)という呼び名がある。, 特に sin, cos は幾何学的にも解析学的にも良い性質を持っているので、様々な分野で用いられる。例えば波や電気信号などは正弦関数と余弦関数を組み合わせることで表現することができる。この事実はフーリエ級数およびフーリエ変換の理論として知られ、音声などの信号の合成や解析の手段として利用されている。他にもベクトルの外積や内積は正弦関数および余弦関数を用いて表すことができ、ベクトルを図形に対応づけることができる。初等的には、三角関数は実数を変数とする一変数関数として定義される。三角関数の変数の対応するものとしては、図形のなす角度や、物体の回転角、波や信号のような周期的なものに対する位相などが挙げられる。, 三角関数に用いられる独特な記法として、三角関数の累乗と逆関数に関するものがある。通常、関数 f (x) の累乗は (f (x))2 = f (x)・f (x) や (f (x))−1 = 1 / f (x) のように書くが、三角関数の累乗は sin2x のように書かれることが多い。逆関数については通常の記法 (f −1(x)) と同じく、sin−1x などと表す(この文脈では従って、三角関数の逆数は分数を用いて 1/sin x のように、あるいは (sin x)−1 などと表される)。文献あるいは著者によっては、通常の記法と三角関数に対する特殊な記法との混同を避けるため、三角関数の累乗を通常の関数と同様にすることがある。また、三角関数の逆関数として −1 と添え字する代わりに関数の頭に arc とつけることがある(たとえば sin の逆関数として sin−1 の代わりに arcsin を用いる)。, 三角関数に似た性質を持つ関数として、指数関数や双曲線関数、ベッセル関数などがある。また、三角関数を利用して定義される関数としてしばしば応用されるものにsinc関数がある。, 直角三角形において、1 つの鋭角の大きさが決まれば、三角形の内角の和は 180°であることから他の 1 つの鋭角の大きさも決まり、3 辺の比も決まる。ゆえに、角度に対して辺比の値を与える関数を考えることができる。, ∠C を直角とする直角三角形 ABC において、それぞれの辺の長さを AB = h, BC = a, CA = b と表す(図を参照)。∠A = θ に対して三角形の辺の比 h : a : b が決まることから、, という 6 つの値が定まる。それぞれ正弦(sine; サイン)、正割(secant; セカント)、正接(tangent; タンジェント)、余弦(cosine; コサイン)、余割(cosecant; コセカント)、余接(cotangent; コタンジェント)と呼び、まとめて三角比と呼ばれる。ただし cosec は長いので csc と略記することも多い。ある角 ∠A に対する余弦、余割、余接はその角 ∠A の余角 (co-angle) に対する正弦、正割、正接として定義される。, 三角比は平面三角法に用いられ、巨大な物の大きさや遠方までの距離を計算する際の便利な道具となる。角度 θ の単位は、通常度またはラジアンである。, 三角比、すなわち三角関数の直角三角形を用いた定義は、直角三角形の鋭角に対して定義されるため、その定義域は θ が 0° から 90° まで(0 から π / 2 まで)の範囲に限られる。また、θ = 90° (= π / 2) の場合 sec, tan が、θ = 0°(= 0) の場合 csc, cot がそれぞれ定義されない。これは分母となる辺の比の大きさが 0 になるためゼロ除算が発生し、その除算自体が数学的に定義されないからである。一般の角度に対する三角関数を得るためには、三角関数について成り立つ何らかの定理を指針として、定義の拡張を行う必要がある。後述する単位円による定義は初等幾何学におけるそのような拡張の例である。他に同等な方法として、正弦定理や余弦定理を用いる方法などがある。, 2 次元ユークリッド空間 R2 における単位円 {x(t)}2 + {y(t)}2 = 1 上の点を A = (x(t), y(t)) とする。反時計回りを正の向きとして、原点と円周を結ぶ線分 OA と x 軸のなす角の大きさ ∠xOA を媒介変数 t として選ぶ。このとき実変数 t に対する三角関数は以下のように定義される。, これらは順に正弦関数 (sine function)、余弦関数 (cosine function)、正接関数(tangent function) と呼ばれる。さらにこれらの逆数として以下の 3 つの関数が定義される。, これらは順に余割関数 (cosecant function)、正割関数 (secant function)、余接関数 (cotangent function) と呼ばれ、sin, cos, tan と合わせて三角関数と総称される。特に csc, sec, cot は割三角関数(かつさんかくかんすう)と呼ばれることがある。, この定義は 0 < t < π / 2 の範囲では直角三角形による定義と一致する。, 角度、辺の長さといった幾何学的な概念への依存を避けるため、また定義域を複素数に拡張するために、級数を用いて定義することもできる。この定義は実数の範囲では単位円による定義と一致する。以下の級数は共に示される収束円内で収束する。, の解として cos x を定義し、sin x を −d (cos x)/dx として定義できる[1][2]。 \[\tan\theta'=\dfrac{y}{-x}=-\dfrac{y}{x}=-\tan\theta\] &\tan\theta=\dfrac{(点\text{P}のy座標)}{(点\text{P}のx座標)}=(直線\text{OP}の傾き) と表すことができる。, ここで、$\theta'=180^\circ-\theta$ であるから、次のようにまとめることができる。, 角$\theta$ が $0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ の三角比において これまでは、直角三角形を用いて鋭角の三角比を考えてきた。より一般的な三角形を分析するための準備として、ここでは三角比の考えを直角・鈍角・$0^\circ$へと拡張し、$0^\circ$から$180^\circ$までの三角比を統一的に扱おう。 三角比の拡張. x \begin{align} \[\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\tag{2}\label{kakutyosaretasankakuhinosougokankenituite2}\] &1+\dfrac{1}{\tan^2\theta}=\dfrac{1}{\sin^2\theta},~\tan^2\theta+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta} \[\sin(90^\circ+\theta)=\cos\theta\] ことがわかる。, この $\triangle{\text{OPQ}}$ を、図のように単位円の(上半分の)中に描いてみよう。そのようにすれば、, このように、「単位円周上の点の座標」として三角比をとらえなおすと、角度が鋭角でなくても三角比を考えることができる。そこで、$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ の範囲にある角 $\theta$ の三角比を、次のように定義しなおそう。, 点 $\text{O}$ を原点とする座標平面上に単位円の上半分をとり、その周上に一点 $\text{P}$ をとる。, $x$ 軸の正の部分 $\text{OX}$ に対し、$\angle\text{POX}$ を $\theta(0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ)$ とするとき \[\tan^2{\theta}+1=\dfrac{1}{\cos^2{\theta}}\], $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}$ のとき、$\cos\alpha$、$\tan\alpha$ の値を求めよ。, $\cos\alpha=\dfrac{1}{3}$ のとき、$\sin\alpha$、$\tan\alpha$ の値を求めよ。, $\tan\alpha=7$ のとき、$\cos\alpha$、$\sin\alpha$ の値を求めよ。, $(\sin\theta+\cos\theta)^2+(\sin\theta-\cos\theta)^2$, $\dfrac{\cos\theta}{1+\sin\theta}-\dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta}$. つまり、$\boldsymbol{\theta=45^\circ}$、または、$\theta=180^\circ-45^\circ=\boldsymbol{135^\circ}$。, 動径の傾きが $\tan$ に一致するので、図のように、傾き $-\sqrt{3}$ の直線を引く。, $\triangle{\text{OPQ}}$ は辺の長さが $1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形なので \[\angle{\text{POQ}}=30^\circ\] \end{align} これまでは、直角三角形を用いて鋭角の三角比を考えてきた。より一般的な三角形を分析するための準備として、ここでは三角比の考えを直角・鈍角・$0^\circ$へと拡張し、$0^\circ$から$180^\circ$までの三角比を統一的に扱おう。 \begin{align} が成り立つ。以下でこれらのことを確認してみよう。, 図の単位円において \[\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1\], $\tan\theta$ と $\sin\theta$ の関係 と表すことができる。, ここで、$\theta'=90^\circ+\theta$ であるから、次のようにまとめることができる。, 角 $\theta$ が $0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circ$ の三角比において Copyright © 2013 もう一度やり直しの算数・数学, All Rights Reserved. とする。, ただし、点 $\text{P}$ の $x$ 座標が $0$ のとき、つまり $\theta=90^\circ$ のときは $\tan\theta$ を定義しない。, 角度が $0^\circ$、$30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$、$90^\circ$、$120^\circ$、$135^\circ$、$150^\circ$、$180^\circ$ の場合の三角比は、頭の中で次のような図を思い描き、素早く求められるようになろう。, 以下の式を満たす $\theta$ を求めよ。ただし $0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ とする。, 図のように、上半分の単位円周上において、$x$ 座標が $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である点を取る。, このとき、$\triangle{\text{OPQ}}$ は辺の長さが $1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形なので &\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}\\ ) であるから、$\tan\theta$ は \begin{align} \[\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\tag{1}\label{kakutyosaretasankakuhinosougokankenituite1}\] 「対辺の長さは $\sin\theta$ の値を表し、底辺の長さは $\cos\theta$ の値を表す」 \therefore~~&\tan^2\theta+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}\tag{4}\label{kakutyosaretasankakuhinosougokankenituite4} 問題を解いてみる. が成り立つ。, 「$180^\circ-\theta$ の三角比は $\theta$ だけを使った三角比で表せる」ということを覚えておくのが大切であり、この式も暗記するようなものではない。やはり、必要なときに、上の図を描いて素早く導出できるようにしておけばよい。, これからも、$90^\circ\lt\theta\leqq180^\circ$ の三角比は、$0^\circ\lt\theta\leqq90^\circ$ の三角比になおして、その値を求めることができる。, $\blacktriangleleft$ $\cos\alpha=\pm\dfrac{4}{5},~\tan\alpha=\pm\dfrac{3}{4}$(複合同順)と書いてもよい, $\blacktriangleleft$ $0^\circ\leqq\alpha\leqq180^\circ$ のとき、定義から $\sin\alpha\geqq0$。, $\blacktriangleleft$ $\tan\alpha$ の値が正であるから、$\cos\alpha$ の値も正である, $\blacktriangleleft$ $\sin(90^\circ+\theta)=\cos\theta$, $\blacktriangleleft$ $\cos(90^\circ+\theta)=-\sin\theta$, $\blacktriangleleft$ $\tan(90^\circ+\theta)=-\dfrac{1}{\tan\theta}$, $\blacktriangleleft$ $\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta$, $\blacktriangleleft$ $\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta$, $\blacktriangleleft$ $\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta$, ゲスト ↦ \end{align} と書ける。つまり、斜辺の長さが $1$ である直角三角形では \[\sin\theta'=x=\cos\theta\] \[\sin\theta'=y=\sin\theta\] \sin{\theta}=&\dfrac{\text{PQ}}{\text{OP}}=\text{PQ}\\ \therefore~~&1+\dfrac{1}{\tan^2\theta}=\dfrac{1}{\sin^2\theta}\tag{3}\label{kakutyosaretasankakuhinosougokankenituite3} \[\cos\theta'=y=-\sin\theta\] x \end{align} \[\cos\theta=x~,~\sin\theta=y\] 三角比は三角形(特に直角三角形)の辺の比を考える分野です。中学の三平方の定理でも直角三角形を扱いましたが、直角三角形は数学の中心的なテーマですね。中学→三平方の定理、高校→三角比… \begin{align} が区間 [0, 2π) から単位円周への(「反時計まわりの」)全単射であることを示すことができる。(連続微分可能な)曲線の長さを積分によって定義すれば、単位円周の長さが 2π であることなどがわかり、上のように定義された三角関数や円周率は、初等幾何での三角関数や円周率の素朴な定義と同じものであることが分かった[16]。, 三角関数の定義域を適当に制限したものの逆関数を逆三角関数(ぎゃくさんかくかんすう、英: inverse trigonometric function)と呼ぶ。逆三角関数は逆関数の記法に則り、元の関数の記号に −1 を右肩に付して表す。たとえば逆正弦関数(ぎゃくせいげんかんすう、英: inverse sine; インバース・サイン)は sin−1x などと表す。arcsin, arccos, arctan などの記法もよく用いられる。数値計算などにおいては、これらの逆関数はさらに asin, acos, atan などと書き表される。, である。逆関数は逆数ではないので注意したい。逆数との混乱を避けるために、逆正弦関数 sin−1x を arcsin x と書く流儀もある。一般に周期関数の逆関数は多価関数になるので、通常は逆三角関数を一価連続なる枝に制限して考えることが多い。たとえば、便宜的に主値と呼ばれる枝を, のように選ぶことが多い。またこのとき、制限があることを強調するために、Sin−1x, Arcsin x のように頭文字を大文字にした表記がよく用いられる。, exp z, cos z, sin z の級数による定義から、オイラーの公式 exp (iz) = cos z + i sin z を導くことができる。この公式から下記の 2 つの等式, が得られるから、これを連立させて解くことにより、正弦関数・余弦関数の指数関数を用いた表現が可能となる。すなわち、, が成り立つ。この事実により、級数によらずこの等式をもって複素変数の正弦・余弦関数の定義とすることもある。また、, が成り立つ。ここで cosh z, sinh z は双曲線関数を表す。この等式は三角関数と双曲線関数の関係式と捉えることもできる。複素数 z を z = x + iy (x, y ∈ R) と表現すると、加法定理より, 他の三角関数は csc z = 1 / sin z, sec z = 1 / cos z, tan z = sin z / cos z, cot z = cos z / sin z によって定義できる。, 球面の三角形 ABC の内角を a, b, c, 各頂点の対辺に関する球の中心角を α, β, γ とするとき、次のような関係が成立する。余弦公式や正弦余弦公式は式の対称性により各記号を入れ替えたものも成立する。, (Fundamental Pythagorean trigonometric identity), http://books.google.com/books?id=y_7yrqrHTb4C&pg=PA296, https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=三角関数&oldid=77553788.

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